等間隔格子における二階の微分に対する二次中心差分法の導出

Navier-Stokes式中の粘性項，エネルギー保存式中の熱伝導の項など，二階の微分は多くの物理現象を表現するために用いられる。下図において格子 $i$ 周りの二次の項まで考慮するテイラー展開を用いて等間隔格子における二階の微分に対する二次中心差分法を導出する。

$\phi_{i+1} = \phi_i + \dfrac{\Delta}{1!} \dfrac{\partial \phi}{\partial x} + \dfrac{\Delta^2}{2!} \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \mathcal{O} \left( \Delta^3 \right)$

$\phi_{i-1} = \phi_i - \dfrac{\Delta}{1!} \dfrac{\partial \phi}{\partial x} + \dfrac{\Delta^2}{2!} \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \mathcal{O} \left( \Delta^3 \right)$

これらの式から一階の微分を消去し，整理すると次式が求められる。

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \dfrac{\phi_{i+1} - 2 \phi_i + \phi_{i-1}}{\Delta^2}$

以上より，差分差分法として二階の微分をコンピュータが計算することができる四則演算のみで近似することができた。なお，等間隔格子を用いる場合，下図のセル界面における勾配を用いる有限体積法として二階の微分を記述することも可能である。

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \dfrac{\phi_{i+1} - 2 \phi_i + \phi_{i-1}}{\Delta^2} = \dfrac{1}{\Delta} \left( \dfrac{\phi_{i+1} - \phi_i}{\Delta} - \dfrac{\phi_i - \phi_{i-1}}{\Delta} \right)$